虚假诉讼如果构成犯罪的，应该由公安机关负责立案侦查。根据刑法的规定，以捏造的事实提起民事诉讼，妨害司法秩序或者严重侵害他人合法权益的，构成虚假诉讼罪，应追究刑事责任。
以捏造的事实提起民事诉讼，有下列情形之一的，应当认定为刑法第三百零七条之一第一款规定的妨害司法秩序或者严重侵害他人合法权益：
1、致使人民法院基于捏造的事实采取财产保全或者行为保全措施的;
2、致使人民法院开庭审理，干扰正常司法活动的;
3、致使人民法院基于捏造的事实作出裁判文书、制作财产分配方案，或者立案执行基于捏造的事实作出的仲裁裁决、公证债权文书的;
4、多次以捏造的事实提起民事诉讼的;
5、曾因以捏造的事实提起民事诉讼被采取民事诉讼强制措施或者受过刑事追究的;
6、其他妨害司法秩序或者严重侵害他人合法权益的情形。
犯本罪的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金;情节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
单位犯前款罪的，对单位判处罚金，并对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员，依照前款的规定处罚。