在法律上舅舅没有子女的应该由谁来赡养，舅舅和侄子女间是没有法律上的赡养关系，其法定赡养人是舅舅的子女、父母或祖父母。赡养的法律义务只存在于直系亲属间，如父母和子女、祖父母和孙子女。如果舅舅没有子女，有能力有意愿的侄子侄女出于道德可以对其赡养。侄子侄女有经济能力，愿意赡养的收养属于一种法律行为，目的是建立拟制的血亲关系。
舅舅无子女的情况下，其遗产继承的方式为：若生前立了遗嘱的，由遗嘱上指定的继承人继承，没有遗嘱的由第一顺序的配偶、父母继承，没有配偶、父母的由兄弟姐妹、祖父母、外祖父母继承。
法律依据：《中华人民共和国民法典》
第一千一百二十七条 遗产按照下列顺序继承：
(一)第一顺序：配偶、子女、父母;
(二)第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承;没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
本编所称父母，包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母。
本编所称兄弟姐妹，包括同父母的兄弟姐妹、同父异母或者同母异父的兄弟姐妹、养兄弟姐妹、有扶养关系的继兄弟姐妹。
不一定能继承遗产。
舅舅去世后，遗产由其配偶、子女、父母继承，没有第一顺序继承人的，由第二顺序继承人兄弟姐妹、祖父母、外祖父母继承，外甥不属于法定继承人，若第一顺位人没有，外甥母亲死亡，此时可以发生代位继承，对继承人以外的外甥女，如果对外甥女被舅舅扶养较多的，可以分给他们适当的遗产。
法律依据：《中华人民共和国民法典》
第一千一百二十八条 被继承人的子女先于被继承人死亡的，由被继承人的子女的直系晚辈血亲代位继承。
被继承人的兄弟姐妹先于被继承人死亡的，由被继承人的兄弟姐妹的子女代位继承。
代位继承人一般只能继承被代位继承人有权继承的遗产份额。
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