涉外婚姻一方不履行抚养费义务，权利人可按照法定步骤逐步维权，每个流程均有明确法律依据支撑，确保维权过程合法、有序、高效，具体处理步骤如下：
1.协商沟通，明确诉求
权利人可先通过书面函件、跨境通讯工具与不履行义务一方沟通，明确告知其抚养费支付义务、支付金额、支付周期及支付方式，明确要求其在30日内履行支付义务，同时保留好全部沟通记录，作为后续维权的证据。
《中华人民共和国民法典》第二十六条规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务，该义务不因父母离婚或居住境外而免除。
2.准备诉讼材料，确认管辖法院
如果协商无果，需准备完整的诉讼材料，包括权利人及未成年子女的身份证明、亲子关系证明、离婚协议或生效裁判文书、对方的身份信息及居住地址、对方收入及财产线索证明、催告支付抚养费的记录等，其中境外形成的材料需按规定办理公证认证手续。
《中华人民共和国民事诉讼法》第二十二条规定，对不在中华人民共和国领域内居住的人提起的有关身份关系的诉讼，由原告住所地人民法院管辖，权利人可向自身住所地有管辖权的法院提起诉讼。
3.提起诉讼，推进审理程序
将起诉状及全部证据材料提交至管辖法院，法院经审查符合立案条件的，予以立案并向双方送达法律文书，其中向境外一方送达文书可通过外交途径、使领馆或双方约定的方式进行。
审理过程中，法院会结合相关法律规定和证据，依法确认抚养费支付金额、支付方式及履行期限，《中华人民共和国涉外民事关系法律适用法》第二十五条明确，父母子女人身、财产关系，适用共同经常居所地法律;没有共同经常居所地的，适用一方当事人经常居所地法律或者国籍国法律中有利于保护弱者权益的法律。
4.申请财产保全，保障后续执行
诉讼过程中，如果发现对方有转移财产、逃避履行义务的风险，权利人可向法院申请财产保全，请求法院查封、扣押、冻结对方在境内的房产、银行存款、股权等财产，防止其恶意转移财产导致后续判决无法执行，财产保全申请需提供相应担保。
5.申请强制执行，落实判决结果
获得生效判决或调解书后，如果对方仍不履行抚养费支付义务，权利人可向一审法院申请强制执行，法院会依法查询对方在境内的财产线索，对可供执行的财产依法扣划、拍卖，优先支付抚养费欠款。如果对方拒不履行，法院可对其采取罚款、拘留等强制措施，情节严重的，依法追究刑事责任。
6.申请跨国司法协助，执行境外财产
如果对方主要财产在境外，可向有管辖权的中级人民法院申请承认和执行外国法院判决，或依据《海牙扶养义务判决的承认和执行公约》、双边司法协助条约，请求对方所在国法院协助执行，通过跨国司法协助途径，确保抚养费足额支付，保障未成年子女的基本生活需求。
综上所述，涉外婚姻一方不履行抚养费，维权虽存在跨境沟通、执行等难点，但只要严格遵循上述步骤，依托法律规定和跨国司法协助机制，就能有效实现维权目的。权利人需提前准备充分证据，配合法院推进各环节流程，依法维护未成年子女的合法权益，确保抚养费足额、及时支付。