请问，我能要求现在工作的公司和我签订劳动合同吗?
解析： 你所在公司的说法是不符合法律规定的。
最高法院《关于审理劳动争议案件适用法律若干问题的解释(三)》第八条规定，企业停薪留职人员、未达到法定退休年龄的内退人员、下岗待岗人员以及企业经营性停产放长假人员，因与新的用人单位发生用工争议，依法向人民法院提起诉讼的，人民法院应当按劳动关系处理。
由此可见，既然你与用人单位建立了劳动关系，当然有权要求用人单位与你签订劳动合同。