放弃子女抚养权意味着主动选择不直接抚养子女，无法参与子女的日常起居照料、学业陪伴和成长决策，只能通过探望的方式与子女相处。
但父母与子女之间的血缘关系和法定身份关系，不会因为放弃抚养权的行为而消除，对应的法定抚养、教育和保护责任依旧需要全面承担，不存在彻底脱离亲子责任的可能。
根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条规定，父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。第一千零八十五条规定，离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议。协议不成的，由人民法院判决。
放弃抚养权后，必须按时足额支付子女的生活费、教育费、医疗费等必要抚养开支，支付期限一般持续至子女年满十八周岁为止，如果子女成年后仍在校就读或无法独立生活，支付义务还需适当延长。
同时，不直接抚养一方依法享有探望权，可按照双方约定或法院判决的时间、方式探望子女。如果长期拒不履行支付抚养费的义务，子女可以通过诉讼途径强制追索，情节恶劣构成遗弃的，还需要承担对应的刑事法律责任。
母亲再婚并生育新的子女，亲生父亲对原有子女的抚养费支付义务依旧需要依法履行，抚养费的法定支付责任，不会因为抚养方再婚、组建新的家庭或是生育其他子女而消除。
这是法律明确规定的强制性义务，不受任何一方婚姻状况变化的影响，也不能以此为由拒绝履行。
根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条规定，父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。同时，第一千零八十五条规定，前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。
母亲再婚组建新的家庭，仅仅是其个人婚姻状态发生改变，亲生父亲与子女之间的血缘关系、法定抚养关系并未发生任何变更，必须继续按照约定或判决标准履行抚养费支付责任。
如果子女后续因患病、升学、生活成本上涨等原因，导致生活和学习开支大幅增加，子女还可以依法向父亲提出提高抚养费数额的合理诉求，父亲不得以母亲再婚、生育其他子女为由拒绝支付或降低抚养费标准。
综上所述，放弃子女抚养权只是变更直接抚养方式，绝不等于免除法定抚养责任，不直接抚养一方仍需支付抚养费并依法享有探望权。母亲再婚生育的事实，丝毫不能免除亲生父亲对原有子女的抚养费支付义务，父母对未成年子女的抚养是无条件的法定义务，必须依法依规全面履行，切勿以任何不当理由逃避自身应尽的抚养责任。