抚养孩子是父母应尽的义务，支付抚养费是不直接抚养子女的一方应尽的义务，这种义务不会因为一方再婚而消失，而且抚养费是父母对未成年子女承担的生活、教育等费用。
法律依据
《中华人民共和国民法典》第二十六条
父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。
成年子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务。
《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条
父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。
离婚后再婚可以把子女的姓改成现任丈夫姓，但是需要经过前夫的同意，如果擅自将孩子的姓氏改为继父的姓氏，并发生纠纷，另一方提起诉讼，法院应判决恢复原姓氏。
法律依据
《中华人民共和国民法典》第一千零一十五条
【自然人选取姓氏】自然人应当随父姓或者母姓，但是有下列情形之一的，可以在父姓和母姓之外选取姓氏：
(一)选取其他直系长辈血亲的姓氏;
(二)因由法定扶养人以外的人扶养而选取扶养人姓氏;
(三)有不违背公序良俗的其他正当理由。
少数民族自然人的姓氏可以遵从本民族的文化传统和风俗习惯。
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