根据《劳动保障监察条例》第十一条规定，劳动行政部门有权对用人单位遵守劳动法律法规的情况进行监督检查。
当员工投诉后，劳动局将启动调查程序，公司可能面临以下后果：
一是行政处罚风险，《劳动合同法》第八十五条规定，劳动行政部门可责令用人单位限期支付拖欠的工资、加班费或经济补偿，逾期不支付的，按应付金额50%以上100%以下的标准加付赔偿金;
二是信用记录影响，《企业劳动保障守法诚信等级评价办法》规定，劳动违法行为将被记入企业信用档案;
三是责令整改要求，《劳动保障监察条例》第二十五条规定，对违法情节轻微的，可下达整改指令书，要求限期改正违法行为。
企业若拒不执行整改决定，可能面临罚款等加重处罚。
企业若连续被员工投诉，将面临更为严重的法律后果：
一是处罚力度会加重，《劳动保障监察条例》第三十条规定，经责令改正拒不改正的，可处2000元以上2万元以下罚款;
二是可能被列为重点监管对象，《企业劳动保障守法诚信等级评价办法》将多次违法的企业评定为C级，面临更频繁的监督检查;
三是影响商业机会，《政府采购法》第二十二条规定，重大违法记录的企业可能丧失投标资格;
四是刑事责任风险，《刑法》第二百七十六条之一规定，拒不支付劳动报酬情节严重的，可处三年以下有期徒刑或拘役。
此外，连续投诉还可能引发群体性劳资纠纷，对企业声誉造成难以挽回的损害。