检察院再审抗诉的法院管辖，需依据案件类型和抗诉主体确定。
最高人民检察院对不服各级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定的申诉，经复查决定提出抗诉的，应当按照审判监督程序向同级人民法院提出抗诉，或者指令作出生效判决、裁定的人民法院的上一级人民检察院，向同级人民法院提出抗诉。
地方各级人民检察院对不服同级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定的申诉，复查后认为需要抗诉的，应当提请上一级人民检察院抗诉，由上一级人民检察院向其同级人民法院提出抗诉。
依据《人民检察院复查刑事申诉案件规定》第四十六条明确，最高人民检察院对不服各级人民法院已经发生法律效力的刑事判决、裁定的申诉，上级人民检察院对不服下级人民法院已经发生法律效力的刑事判决、裁定的申诉，经复查决定提出抗诉的，应当按照审判监督程序向同级人民法院提出抗诉，或者指令作出生效判决、裁定的人民法院的上一级人民检察院，向同级人民法院提出抗诉。
《人民检察院行政诉讼监督规则(试行)》第十八条、第十九条也对行政诉讼案件的抗诉管辖作出类似规定，地方各级人民检察院发现同级人民法院生效判决、裁定存在法定情形的，可提出再审检察建议;符合特定条件的，应当提请上一级人民检察院抗诉。
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百二十八条规定，地方各级人民检察院认为本级人民法院第一审的判决、裁定确有错误的时候，应当向上一级人民法院提出抗诉。
检察院抗诉被驳回后，申诉人可通过规范步骤寻求后续救济，具体步骤如下：
1、确定申诉管辖机关
如果抗诉被作出驳回决定的检察院的上一级检察院驳回，可向最高人民检察院申诉;如果抗诉被同级检察院驳回，可向上一级检察院申诉;如果抗诉被最高人民检察院驳回，可向最高人民法院申诉。
2、准备完整申诉材料
需提交申诉状，明确写明当事人的基本情况、联系方式，以及申诉的事实与理由;提交原一审、二审判决书、裁定书等法律文书;经过人民法院复查或者再审的，还应当附有驳回通知书、再审决定书、再审判决书、裁定书;同时提交其他与申诉相关的材料。
3、补充特殊材料
以有新的证据证明原判决、裁定认定的事实确有错误为由申诉的，应当同时附有相关证据材料，确保新证据具备真实性、合法性和关联性。
检察院再审抗诉期限需区分不同案件类型和程序阶段，具体期限要求如下：
1、刑事申诉案件
上级人民检察院审查下一级人民检察院提请抗诉的刑事申诉案件，应当自收案之日起三个月以内作出决定。
对可能属于冤错等事实证据有重大变化的刑事申诉案件，可以不受上述期限限制。对不服人民法院已经发生法律效力的死刑缓期二年执行判决、裁定的申诉案件，需要加重原审被告人刑罚的，应当在死刑缓期执行期限届满前作出决定。
2、行政诉讼监督案件
当事人依照规定向人民检察院申请监督的，应当在相应期限内提出，该期限为不变期间，不适用中止、中断、延长的规定。
1)当事人对人民法院作出驳回再审申请裁定之日，或者再审判决、裁定发生法律效力之日起六个月内提出;
2)对人民法院逾期未对再审申请作出裁定的，应当在再审申请审查期限届满之日起六个月内提出;
3)以有新的证据等特定理由申请监督的，应当在知道或者应当知道之日起六个月内提出。
《人民检察院复查刑事申诉案件规定》第五十一条明确，上级人民检察院审查下一级人民检察院提请抗诉的刑事申诉案件，应当自收案之日起三个月以内作出决定;对可能属于冤错等事实证据有重大变化的刑事申诉案件，可以不受上述期限限制;对不服人民法院已经发生法律效力的死刑缓期二年执行判决、裁定的申诉案件，需要加重原审被告人刑罚的，应当在死刑缓期执行期限届满前作出决定。
综上，检察院再审抗诉的管辖法院、驳回后申诉步骤及抗诉期限，均有明确的法律依据。当事人行使救济权利时，需严格遵循法定要求和期限，规范提交材料。有程序疑问，及时咨询专业法律人士更能保障权益。