父母对子女的抚养义务是法定的，不因婚姻关系变化而消除。根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条：父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。母亲再婚属于婚姻关系变更，但生父与子女的血缘关系及法律上的亲子关系并未改变，因此生父仍需承担抚养责任。
抚养费支付标准通常根据子女实际需要、父母负担能力及当地生活水平确定。如果生父与母亲离婚时已通过协议或法院判决确定抚养费金额，母亲再婚不影响该约定的执行;如果未明确约定，子女可随时向生父主张抚养费。即使子女随母亲与继父共同生活，生父仍需支付抚养费，继父与子女之间仅形成继父母子女关系，继父无法定抚养义务，除非其自愿承担。
如果生父拒绝支付抚养费，子女可通过以下途径维权：首先与生父协商，要求其履行义务;协商不成可向当地妇联、民政部门或社区调解组织申请调解;调解无果可向法院提起诉讼，法院将根据子女实际需求与生父经济状况判决支付金额及方式。判决生效后，如果生父仍不履行，子女可申请强制执行，法院可查封、扣押、拍卖生父财产以支付抚养费。
放弃抚养权通常指父母通过协议或法院判决，将直接抚养子女的权利与义务转移给另一方，但并不意味着完全解除所有责任。根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条：父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。放弃抚养权仅解除直接抚养责任，父母仍需承担经济支持、教育保护等间接义务。
放弃抚养权后，父母仍享有探视权，可定期与子女见面、交流，了解其生活学习情况。如果直接抚养方阻碍探视，放弃抚养权方可向法院申请强制执行，要求对方配合。同时，放弃抚养权方需按约定或法院判决支付抚养费，如果未支付，直接抚养方可要求其补缴并承担违约责任。
放弃抚养权不影响父母对子女的遗产继承权。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条：遗产按照下列顺序继承：(一)第一顺序：配偶、子女、父母。子女包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。即使父母放弃抚养权，子女仍可作为第一顺序继承人继承其遗产。
子女赡养父母是法定义务，与父母是否放弃抚养权无关，不能通过协议或行为免除。根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条：成年子女不履行赡养义务的，缺乏劳动能力或者生活困难的父母，有要求成年子女给付赡养费的权利。赡养义务包括经济供养、生活照料与精神慰藉，是子女对父母的基本责任，具有强制性。
如果父母因年老、疾病等原因丧失劳动能力或生活困难，即使其曾放弃子女抚养权，子女仍需履行赡养义务。赡养费标准根据父母实际需求、子女经济能力及当地生活水平确定，子女不得以父母未履行抚养义务为由拒绝赡养。如果子女拒绝赡养，父母可向法院提起诉讼，要求子女支付赡养费并履行照料义务。
赡养义务的独立性还体现在，即使父母曾有虐待、遗弃等违法行为，子女仍需履行赡养义务，但可主张减少赡养费金额。根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十九条：子女应当尊重父母的婚姻权利，不得干涉父母离婚、再婚以及婚后的生活。子女对父母的赡养义务，不因父母的婚姻关系变化而终止。父母再婚或放弃抚养权不影响子女赡养义务的履行。
如果子女拒不履行赡养义务，父母可向法院申请强制执行，法院可采取查封财产、冻结银行账户、限制高消费等措施督促子女履行。情节严重的，子女可能构成遗弃罪，需承担刑事责任。
根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条：对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。赡养义务的履行是法律与道德的双重要求，子女必须严格遵守。