监外执行期间不能跑网约车，这一结论既源于网约车从业的法定资格限制，也符合监外执行的监管要求，两者叠加决定了监外执行罪犯无法从事网约车运营活动，即使尝试申请也无法通过资质审核，擅自运营还会违反监外执行规定。
《出租汽车驾驶员从业资格管理规定》第十条明确规定，申请参加出租汽车驾驶员从业资格考试的，应当符合下列条件，一取得相应准驾车型机动车驾驶证并具有3年以上驾驶经历，二无交通肇事犯罪、危险驾驶犯罪记录，无吸毒记录，无饮酒后驾驶记录，最近连续3个记分周期内没有记满12分记录，三无暴力犯罪记录，四城市人民政府规定的其他条件。
监外执行的罪犯本质上是正在执行刑罚的人员，其自身存在犯罪记录，而网约车从业资格明确要求无相关犯罪记录，这是硬性门槛，无法突破。即使罪犯所犯罪名与交通肇事、危险驾驶、暴力犯罪无关，其犯罪记录也会导致无法通过从业资格审核，无法取得网约车驾驶员从业资格证。
从监外执行的监管要求来看，《中华人民共和国社区矫正法实施办法》明确，暂予监外执行的罪犯需接受社区矫正机构的监管，遵守相关监管规定，不得擅自从事可能影响监管或危害社会的活动。
网约车运营需要频繁外出，且活动范围不固定，会给社区矫正监管带来困难，不符合监外执行的监管要求。
如果监外执行罪犯擅自从事网约车运营，不仅会因不符合从业资格被相关部门处罚，还会被认定为违反监外执行监管规定，社区矫正机构会根据情节轻重给予警告训诫，情节严重的会依法撤销监外执行，将其收监执行剩余刑期，同时还需承担相应的行政处罚责任。
监外执行会留下案底，它作为刑罚执行的特殊方式，并非免除刑罚，只是改变了刑罚执行场所，罪犯的犯罪记录会依法留存，且该记录会对其子女产生一定影响，影响范围主要集中在需要严格政审的场景，具体影响程度根据政审要求和犯罪情节有所不同。
案底是指被法院判决认定为有罪后留存的犯罪记录，监外执行的前提是罪犯被依法判处有期徒刑、拘役甚至无期徒刑，只是因法定情形暂予监外执行，其犯罪事实和判决结果会被依法记录，形成案底，该记录终身留存，不会因监外执行而消除。监外执行留下的案底对子女的影响，主要体现在政审环节。
《征兵政治审查工作规定》等相关文件明确，需要严格政审的机构，如警校、军校、司法机关职位等，会审查直系亲属的犯罪记录，子女直系亲属有犯罪案底，可能会影响子女的政审结果。
具体来说，政审分为严格政审与非严格政审，严格政审场景下，监外执行罪犯所犯罪名属于危害国家安全罪、死刑犯罪、严重人身犯罪、贪污贿赂犯罪、黑社会性质组织犯罪等，其子女政审大概率无法通过。
非严格政审场景下，罪犯所犯罪名恶性较小，如轻微经济犯罪，对子女的影响相对较小，但仍可能存在一定限制。
需要明确的是，案底对子女的影响仅局限于政审相关的升学、就业场景，不影响子女的正常生活、学习和普通就业，子女无需为父母的犯罪行为承担刑事责任，只是在需要严格政审的环节会受到相应限制。
综上所述，监外执行期间不能跑网约车，不符合从业资格且违反监管规定。监外执行会留下案底，该案底会对子女政审产生影响，具体程度结合犯罪情节和政审要求确定。建议监外执行罪犯严格遵守监管规定，避免擅自从业，同时理性看待案底对子女的影响。