员工在工作期间打游戏被用人单位开除，其合法性取决于用人单位规章制度中是否有明确规定以及该行为是否达到严重违反纪律的程度。如果公司依法制定了相关制度并告知劳动者，且员工行为确属严重违纪，解除劳动合同属于合法行为，无需支付经济补偿。